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En Cálculo Multivariado se generalizan los conceptos estudiados en Cálculo Diferencial e Integral para funciones de una variable a funciones de varías variables. Es por eso que el presente curso se divide en dos partes fundamentales:
Diferenciación e Integracíon.
La parte de diferenciación está dedicada a extender las nociones de límites, continuidad y el concepto de derivada a funciones de dos y tres variables. Tanto para el cálculo de límites así como para la interpretación geométrica de la derivada es necesario la noción de curva, que se define como la imagen de una función vectorial. Para el estudio de las funciones vectoriales es de vital importancia el concepto de vector. Vemos de esta forma que la herramienta que permite generalizar el Cálculo Diferencial para ser aplicado a funciones de varías variables es el Álgebra Lineal. Una vez establecidos estos conceptos para este tipo de funciones de dos y tres variables se pueden realizar las aplicaciones: Máximos y mínimos y multiplicadores de Lagrange.
La segunda parte de integración comienza con la extensión de la integral de Riemann a la integral de funciones de dos y tres variables, para el cálculo de estas integrales el método de sustitución es reemplazado por el Teorema de cambio de variables, se consideraran dos tipos principales de cambio de variables: a coordenadas cilíndricas y esféricas. Con la integral de una función de dos variables (integral doble) se calcularán volúmenes, áreas de superficie y centros de masa de una lámina que ocupa una región en el plano. Con la integral de una función de tres variables (integral triple) se calcularán volúmenes y centros de masa de un sólido que ocupa una región en el espacio. Otro tipo de integrales que se estudiarán serán las integrales de línea con la cual se calcularán: longitud de arco, áreas de superficie, centros de masa, momentos de inercia, trabajo realizado por una fuerza variable.
La partes de diferenciación e integración se relacionarán de forma fundamental mediante tres teoremas:
Teorema de Green (Teorema Fundamental del Cálculo en el plano),
Teorema de Stokes (Teorema Fundamental del Cálculo en el espacio),
Teorema de la divergencia.